函数在某一点连续能否推出在该点的邻域连续？

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我的理解是这样：

从图像上来说，连续至少应该是两个以上的点之间的一种关系。既然不止一个点，那如果 delta 取得足够小，邻域仅仅包括这两个点，不就能说明邻域连续吗？

从定义上来说，连续要求左右极限均存在且等于该点的函数值，极限存在不就是点的去心邻域要连续吗？

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看过很多答案，不乏很多大佬给出了迪利克雷函数。但是还是想请教一下，想知道我的理解中的误区。（迪利克雷函数让我怀疑连续不是点与点之间的关系，而是点自身的某种状态了⚆_⚆）

邻域

函数

连续

迪利克雷

4 replies • 2020-10-06 17:24:46 +08:00

Xs0ul

Oct 6, 2020 via Android

建议看看黎曼函数

另外因为实数的稠密性，你做不到只包含 2 个点

LaureatePoet

Oct 6, 2020 via iPad

同意楼上。看看黎曼函数它在无理点连续。

geelaw

Oct 6, 2020

@LaureatePoet #2 如果你说的是 xD(x)，它只在 0 连续。仅在无理点连续的函数构造不那么简单，需要弄一个 Q 上每点概率都非零的概率测度，然后考虑它的累积概率函数。

极限存在和去心邻域连续是完全不同的概念，产生这样的错觉是非常严重的想当然。正确的直观：每个点的极限都只和这个点的去心邻域有关，而任意两个不同的点都可以找到分别的去心邻域使之不相交，特别地，这包括一个点的任意一个去心邻域里的任意一个点。因此一点处的极限不可能导出该点任何去心邻域里任何点的极限性质。

geelaw

Oct 6, 2020

@geelaw #3 Oops，太久没练习都生疏了。黎曼函数是那个只保留分母的……我提到的那个累积概率函数是严格单调且在且仅在无理数点连续的函数。